Bei Umzug nach Österreich muss ich mich bei der Botschaft melden?

Nein, beim Österreichischen Pendant des Einwohnermeldeamtes.

In größeren Gemeinden und Städten ist das die "Bezirkshauptmannschaft", in kleineren Gemeinden gehst du ins Bürgermeisteramt. Nach der Anmeldung bekommst du einen Auszug aus dem ZMR, dem zentralen Melderegister in Österreich, das gilt als Anmeldebescheinigung.
Das ist Europa, innerhalb der EU genießen alle Unionsbürgerinnen und Bürger das Recht auf Freizügigkeit, damit verbunden ist das freie Wohnrecht. Nix Botschaft.