Ich will in meinen Rechner eine zweite Festplatte installieren, da allmählich der Speicher ausgeht. Wie macht man das? Ich habe leider festgestellt, dass innen drin kein Platz mehr verfügbar ist, was die ganze Sache wohl schwerer macht.

Nein, wird nicht schwerer. Wenn ja kein Platz drin ist, kann man nichts mehr rein tun und der Rechner kann nicht schwerer werden.

Dann kaufen Sie eben eine externe Festplatte, die Sie dan über USB 2 oder besser USB 3 mit dem Rechner verbinden. Bei USB 3 brauchen Sie noch eine entsprechende Steckkarte in Ihrem Rechner.
Diese Lösung ist in jedem Falle ausreichend für normale Daten. Sollten Sie Videodateien bearbeiten wollen, dann in jedem Fall das schnellere USB 3.

Um diese Frage sinnvoll beantworten zu können müßtest Du wesentlich mehr Informationen bereitstellen. Was für ein Rechner ist es (Notebook, Desktop, Mini PC, ...) über welche Technologie werden die Festplatten angeschlossen (SCSI, IDE, S-ATA, ...) welche größe (2,5", 3,5") hat die vorhandene Platte, ist überhaupt noch eine Anschluss für eine 2. Platte (Datenbus und Netzteil) verfügbar ? ...
Deine Fragestellung läßt erahnen, daß Dir noch die nötigen Grundlagen für einen Einbau in Eigenregie fehlen. Ich empfehle zum Computerhändler Deines Vertrauens zu gehen und dich dort beraten zu lassen, und eventuell auch da einbauen zu lassen, das wird vermutlich die deutlich günstigere Lösung werden.
Wenn schon physikalisch kein Platz für eine 2. Festplatte vorhanden ist, dann gibt es eventuell die Möglichkeit die Festplatte durch eine größere zu ersetzten.

Wenn Du Dir die Mühe machst, das aktuelle Betriebssystem auf eine neue PLatte zu spielen (und natürlich auch die Daten), kannst Du die alte, zu kleine PLatte gegen eine größere austauschen. Die ist in der Regel auch schneller als eine uralte. Und brauchst keinen zusätzlichen Platz!!!

Dass du keinen Platz mehr im Rechner hast, ist gar kein Problem. Externer Speicher ist sehr billig und kinderleicht zu installieren. Einfach USB-Kabel einstecken und fertig. Das ist auch für Laien kein Problem, schau doch mal hier http://www.tomshardware.de/Terabyte-extern-intern,news-243913.html

Wenn der Computer über USB 2.0 verfügt, wird das Aufrüsten der Festplattenkapazität sogar relativ leicht. Dann bietet sich der Kauf einer externen Festplatte mit eben dieser USB2.0-Schnittstelle an. Diese sind nicht teurer als ihre internen Verwandten und sie funktionieren nach dem Anstecken sofort ohne Installation. Allerdings sind sie etwas langsamer als interne Festplatten.

Kein Problem, obwohl für eine zweite Platte eigentlich immer Platz sein sollte. Nimm einfach eine externe USB-Festplatte. Die sind vielleicht ein wenig teurer und bieten durchschnittlich nicht ganz so viel Speicherplatz, dafür sind sie portabel und man muss sich keinen Einbaustress machen. Stecker rein, fertig!