Ich will mir einen gebrauchten PKW von privat kaufen, aber nicht ohne Gutachten. Wer von uns beiden hat die Kosten dafür zu tragen?

Das ist nicht geregelt.
Üblicherweise zahlt derjenige der etwas bestellt oder haben möchte, folglich der Käufer.
Natürlich kann ein Verkäufer sein Fahrzeug auch schon mit Gutachten anbieten, dann wird er die Kosten des Gutachtens zum Fahrzeugpreis hinzurechnen.
Letztendlich ist dies, wie fast immer beim Gebrauchtwagenkauf, Verhandlungssache.

Wer beauftragt das Gutachten?
Eben.
Und wer einen Auftrag erteilt, zahlt.

Da Sie sich eine gebrauchten PKW von Priavt kaufen möchten, müssten Sie erst einmal mit dem Verkäufer sprechen. Eventuell übernimmt er ja die Kosten des Gutachters. Es kam schon vor, dass der Verkäufer schon vorher ein Gutachten machen lassen hat. Diese Kosten schlägt er dann meistens auf den Kaufpreis  auf. Schließlich möchte er die Kosten wieder herausholen. Aber normalerweise, wenn Sie als Käufer ein Gutachten haben möchten, müssen Sie diesen dann auch zahlen.

Leider muss du dafür die Kosten tragen. Man kann dabei einheitlich so gut wie keine Ansprüche an den Verkäufer erstellen. Dieser entscheidet für sich ganz alleine, was und wie er das Auto verkauft. Ein Gutachten muss er dabei nicht in Kauf nehmen und muss dieses auch nicht nachträglich für dich bezahlen.

Derjenige, der auf das Gutachten bestehen möchte, der hat auch die Kosten dafür zu tragen. Wenn es sich um einen kulanten Verkäufer handelt, bietet er an, dass er, für den Fall, dass es zu einem Vertragsabschluss kommt, die Hälfte der Kosten übernimmt. Dazu ist er aber auf keinen Fall verpflichtet.