Muss die Asche in einem Festbrennstoffofen, bzw. Allesbrenner, immer ganz entfernt werden?

Da Du die Asche sicherlich nur dann entfernen wirst, wenn sie kalt ist, hat sich das mit der Wärmespeicherung erledigt. Mit dem nächsten Feuer kommt dann neue Asche.

Das wäre eher kontraproduktiv, da das Feuer Sauerstoff zum verbrennen benötigt und dieser von unten "angesaugt" wird. Wenn nun zuviel Asche dort ist, brennts schlecht oder gar nicht. Davon mal abgesehen ist Asche kalt, nur die Restglut erzeugt noch Wärme, damit könnte man aber durch nachlegen wieder feuern.
Wenns speichern soll, Briketts drauf (Braunkohle, da die meisten Öfen Steinkohle nicht vertragen)

Die (abgekühlte!) Asche sollte weg. Es geht um effizienten Energieverbrauch, und das neue Feuer versucht, die Asche zu entzünden (was aber nun mal nicht geht!) - und die dafür benutzte Energie steht nicht mehr zum Heizen zur Verfügung. Auch aus diesem Grund sollte Kaminholz immer möglichst trocken sein; wenn ich die Energie des Feuers erst mal dazu benutzen muss, um die Feuchtigkeit aus dem Holz zu treiben, wird das Feuer nicht so heiss wie bei trockenem Holz.

Mein Heizungsinstallatuer hat bei der IBN meines HOLZVERGASERS (Sturzbrand) gesagt, ich solle 5 mm Asche im Ascheraum lassenum den Schamottstein zu schützen.
Das Werkzeug zum Ascheauskratzen hat auch dafür eintsprechende "Zinken" an der Schabfläche.
Ob dies auf alle Fesrstoffbrenner übertragbar ist, weiß ich leider nicht.

Vorsicht, fragen Sie bitte einen Fachmann. Hier steht viel Unsinn, sie könnten ihrem Ofen Schaden zufügen.

Vorausgesetzt, der Kamin hat ordentlich Zug und der Aschekasten ist nicht voll, werden 1-2 cm Asche auf dem Rost nicht schaden, denn du wirst sehen, dass trotzdem Luft durch die Schlitze kommt. Die meisten Dauerbrandöfen verbrennen sowieso nicht besonders "sauber", deshalb sind meist kleine Holzkohlerest in der Asche, die dann auch noch verglühen. So wird ein "Hauch" mehr Wärme aus dem Holz geholt, die Masse an Holz wirst du eher nicht sparen dadurch. Eben so wenig wirst du eine nennenswerte Menge Wärme in der Asche speichern.

Was meint denn die Betriebsanleitung deines Ofens dazu?

Hallo. Als ehemaliger Ofenbauer kann ich hierzu nur sagen:
Hat der Ofen eine Roste, muß die Asche entfernt werden, wie hier schon geschrieben wurde. :)
Hat der Ofen keine Rost (Holzofen!), kann die Asche liegenbleiben und nicht verbranntes verglüht dadurch. Also eine kleine Einsparung. :)

........"Asche im Ascheraum lassenum den Schamottstein zu schützen"...

Schlicht weg einfach nur Unsinn, so hemmt man den Wärmeaustausch und die Wärme geht zu Schornstein hinaus.

VG