Muss ich einen abgenutzten Rollladengurt bezahlen

Nein.

@Amos: Mitnichten.Ein Rollladengurt unterliegt auch bei bestimmungsmäßigem Gebrauch einer nicht vermeidbaren Abnutzung Somit ist es nicht die Sache des Mieters, sondern des Vermieters, welcher die Mietsache in einem gebrauchsfähigen Zustand zu halten hat.
MfG machine

@Amos: Ich hoffe, das ist nicht ironisch von Dir gemeint.
Glück auf!

Sollte er sich bei normalem Gebrauch abgenutzt haben und du das belegen kannst bzw. der Vermieter nichts Gegenteiliges belegen kann, solltest du bei normalem Mietvertrag nicht dafür aufkommen müssen.