Muss man den Domainnamen für eine private, nicht gewerbliche Homepage auch von einer Domainbörse beziehen, oder gibt es da andere Wege?

Du gehst zu einem Anbieter von Webseiten und registrierst Deine Domain, fertig. An einer Domainbörse werden Domains gehandelt, die alle gerne haben wollen. Das dürfte für Dich privat wohl eher uninteressant sein.

Du kannst einen eigenen Namen erfinden, sofern dieser, deine Idee, noch nicht vergeben ist. Das ist also sehr unkompliziert: Du wählst dir nur einen Webspace-Anbieter aus und schaust dann, was der dir bieten kann. Hast du Pech, musst du dir einen anderen Namen überlegen.

Nein. Der jeweilige Domainname wird einfach beim jeweiligen Internet-Provider durch eine whois-Recherche ermittelt. Dafür bietet der Internet-Provider ein kleines Formular an, in das man seine Wünsche einträgt. Und falls die Domain frei ist, kann sie reserviert werden. Nur wenn die Domain zum Verkauf steht, dann meist in einer Börse.

Deine Domain kannst Du über einen Webspaceanbieter beziehen, Domains gibt es schon für 99 Cent im Monat. Es gibt auch einige Firmen, die kostenlosen Webspace anbieten, allerdings sind damit oft Einschränkungen verbunden, zum Beispiel, das man Werbung auf seiner Seite in Kauf nehmen muss.