Wie bin ich bei einem Dienstreiseauftrag versichert, wenn ich den Auftrag mit meinem eigenen Wagen ausführe?

Ja, über die Berufsgenossenschaft.

Falls du einen Schaden an deinem Wagen verursachst, trägt diesen dein Arbeitgeber (so die aktuelle Rechtsprechung), sofern du diesen nicht grob fahrlässig verursacht hast. Ein Gesetz darüber findest du nicht, kannst dich aber an dem Begriff "gefahrgeneigte Arbeit" entlanghangeln.
Bedenke jedoch, dass du auch ein Recht erst einmal durchsetzen musst. Von daher nimm lieber das Fahrzeug, das dir dein Arbeitgeber zur Verfügung stellt.

Dann ist Ihr Wagen über Ihre eigene Kfz-Versicherung und Ihren Auto-Schutzbrief versichert. Und Sie selbst sind über die gesetzliche Unfallversicherung abgesichert, da Sie im Auftrag der Firma unterwegs sind. Das gilt allerdings nicht für private Einkäufe o. ä. während der Dienstreise.

Versichert bist du im Regelfall ganz normal über Deine Firma, also wie während der Arbeitszeit (was eine Dienstreise ja auch ist). Mit dem eigenen Wagen ist das so eine Sache... besser nimmst Du einen Firmenwagen, falls vorhanden. Dann tauchen sicher keine Probleme auf. Ansonsten bekommst Du Reisekostenzuschuss/Kilometergeld, musst aber im Unfalls-Fall selbst haften.

Das kommt drauf an. Wenn das Fahrzeug dir gehört, dann läuft alles über dich, auch die Versicherung. Bei einem Dienstwagen zahlt die Versicherung der Firma und auch deren Prämien werden betroffen. Die Selbstbeteiligung liegt in jedem Fall bei dir, außer deine Firma nimmt sie dir ab.