Muß ich meinen Personalausweis zusätzlich mitführen, wenn ich Auto fahre und den neuen Führerschein (keine Adresse eingetragen) habe

Du mußt nicht. Aber du mußt dir dann gefallen lassen, daß du mit zur Wache mußt, bis deine Personalien festgestellt worden sind, wenn du in eine Situation kommst, für die das erforderlich ist. Dafür genügt schon, wenn du Zeuge eines Verkehrsunfalles bist.

grundsätzlich gilt, dass Deu einen Personalausweis zwar besitzen musst, ihn aber nicht immer bei Dir tragen musst; der Ausweis darf auch zu hause im Schrank liegen, wenn Du unterwegs bist. Aber im Falle eines Falles kann das bei einer Polizeikontrolle zu zeitlichen Verzögerungen führen.

ing, Du hast völlig Recht, aber die Formulierung der Fragestellung impliziert für mich, dass der Frager bereits einen Personalausweis besitzt. Daher habe ich auf die Nennung einer Alternative zu selbigem verzichtet; ich hielt es einfach für unnötig.

Vielleicht noch eine Ergänzung: Im grenznahen Raum, das ist der Bereich von der Grenze bis 30 km ins Inland, und 50 km ins Inland, wenn die See das Land begrenzt, besteht eine Ausweispflicht. Daraus ergibt sich die Pflicht, einen Perso oder einen Reisepass mit sich zu führen.
(Siehe ZollVG §10 Abs.1 Satz 2).