Was muss alles in einer Gehaltsabrechnung drin sein, als dass alles seien Richtigkeit hat? Welche Daten?

Es sollte auf jeden Fall der Brutto- und Nettoverdienst enthalten sein, außerdem eine genaue Auflistung der geleisteten Abgaben (Krankenversicherung, Sozialversicherungen etc.) sowie natürlich die korrekte Adresse von dir und dem Arbeitgeber, der Abrechnungsmonat und eventuell auch noch das Eintrittsdatum in den Betrieb.

Das ist in §108 der Gewerbeordnung geregelt, siehe hier: http://bundesrecht.juris.de/gewo/__108.html. Auf jeden Fall muss auch die Adresse des Arbeitgebers, Deine Adresse, Steuerklasse, Sozialversicherungsnummer, Freibeträge, Zahlungszeitraum sowie eine genaue Aufstellung der Zahlungen, Zuschläge und Abzüge drin sein.

Erstmal muß das Bruttogehalt ausgewiesen sein. Dann die Steuerklasse und die Freibeträge. Außerdem die Abzüge also Lohnsteuer, Solidaritätszuschlag, Kirchensteuer, Sozialversicherungsbeiträge (Kranken-, Renten-, Arbeitslosen- und Pflegeversicherung). Meist sind die Werte monatlich und kumuliert ausgewiesen. Das Nettogehalt natürlich auch.