Wie kann ich sicher gehen, dass die Ablesefirma für Wasser und Heizung mich als Mieter nicht über den Tisch zieht?

Gar nicht.

Definiere "über den Tisch ziehen" bitte. Du kannst bei der Ablesung dabei sein und so kontrollieren, dass die korrekten Daten eingetragen werden.
Was den Rest angeht, da brauchst Du ein gewisses Maß an Vertrauen. Anders geht's nicht...

Kannst Du nicht einfach am Ablesetag selber Dir den Zählerstand notieren und dann mit der Abrechnung vergleichen?

Die Ablesefirma liest ab und gibt die Infos an den Vermieter/Verwalter und erhält dafür ein Entgelt. Dieser verteilt dann die angefallenen Kosten nach einem Schlüssel und den Ableseinfos auf die Mieter. Wenn übehaupt, könnte der Vermieter dich über den Tisch ziehen, indem er höhere Kosten verteilt als er hatte. Das wird aber üblicherweise vom Beirat geprüft. Ob dir der Verteilungsschlüsssel gerecht erscheint, ist eine andere Frage. Den kanntest du allerdings beim Einzug (bzw. hättest kennen können)

Du solltest Dir die Stände VOR dem Termin selbst notieren. Du kannst dann bei der Ablesung anwesend sein und dir die entsprechenden Verbrauchsstände protokollieren lassen. Sollte dann etwas anderes in Rechnung gestellt werden, als dir schriftlich protokolliert wurde, musst du einen schriftlichen Widerspruch einlegen und dich dabei auf das Ableseprotokoll beziehen.

Ich lese meine Zählerstände grundsätzlich selber ab und gebe sie dann entweder per Postkarte oder aber auch telefonisch selbst durch. Ich tue es aber nicht aus Mißtrauen, sondern weil ich einfacher finde. Aber es soll schon Manipulationen gegeben haben. Notiere dir die Stände und prüfe es selbst!