Ich habe unvernünftige Abmahnung bekommen

Mit der Unterschrift bestätigst du nur, dass du die Abmahnung erhalten hast. Du bestätigst nicht, dass die Abmahnung rechtens oder korrekt ist. Solltet ihr einen Betriebsrat haben, solltest du diesen aufsuchen und den Vorgang mit den Leuten aus dem BR besprechen. Solltet ihr keinen BR haben, lohnt sich der Gang zu einem Rechtsanwalt für Arbeitsrecht. Der kann dir sagen, ob die Abmahnung unbegründet ist oder für einen nicht abmahnfähigen Vorgang oder nicht korrekt in der Form etc.

Dass Dir die Abmahnung zugegangen ist, muss im Zweifelsfall der Arbeitgeber beweisen. Das macht man z.B., in dem man einen Brief mit Einschreiben Rückschein eigenhändig oder per Boten (der dient dann im Zweifelsfall als Zeuge vor Gericht) versendet oder die Abmahnung unter Zeugen überreicht. Deswegen hätte er gern eine Unterschrift von Dir. Zur Abgabe einer Unterschrift bist Du jedoch nicht verpflichtet! Rechtlich betrachtet hat die Abmahnung eine Warnfunktion und ist einer Kündigung vorgeschaltet. Theoretisch kannst Du auf Entfernung de Abmahnung klagen. Das macht aber wenig Sinn, da ungerechtfertigte Abmahnung spätestens bei einer Kündigungsschutzklage vom Arbeitsgericht einkassiert werden.