Bekommt der Vater nach/mit Vaterschaftsanerkennung automatisch das Sorgerecht?

Nein!

Das Einzige, was er automatisch bekommt, ist die Zahlpflicht.

Alleine die Frage ist ein Gegen-Argument!

Nein bekommt er nicht. Der Eintrag in die Geburtsurkunde kann zwar erfolgen, für das gemeinsame Sorgerecht muss jedoch zusätzlich beim zuständigen Jugendamt eine so genannte Sorgerechtserklärung abgegeben werden.