Kann mir der Arbeitgeber wegen angeblicher Leistungsverweigerung kündigen, auch wenn die Tätigkeit nichts mit meinem Arbeitsbereich zu tun hat?

ja

Das kommt darauf an, ob die Tätigkeit tatsächlich nichts mit Deinem Arbeitsbereich zu tun hat. Es genügt nicht, dass Du normalerweise diese Tätigkeiten nicht verrichtest. Ob die Anweisungen zulässig sind, also ob dem Arbeitgeber ein Weisungsrecht zusteht, hängt z.B. davon ab, was in Deinem Arbeitsvertrag steht.
Im Arbeitsvertrag werden die Arbeitsleistung in der Regel nur allgemein umrissen. Der Arbeitnehmer ist verpflichtet, den Anordnungen des Arbeitgebers über die Einzelheiten der Arbeitsleistung innerhalb des Rahmens, der durch den Arbeitsvertrag festgelegt wird, Folge zu leisten.
Bei der Ausübung des Weisungsrechts steht dem Arbeitgeber regelmäßig ein weites Ermessen zur einseitigen Gestaltung der Arbeitsbedingungen zu.
Solltest Du kein Recht zu Verweigerung haben, müsste der Arbeitgeber Dich jedoch gleichwohl erst einmal abmahnen. Als Kündigungsgrund würde eine einmalige Verweigerung wohl eher nicht genügen.

Das ist von außen sehr schwierig zu beurteilen, denn viele Aufgaben, die nichts mit der eigentlichen Arbeit zu tun haben, werden trotzdem vorausgesetzt. Habt ihr einen Betriebsrat? Wenn ja, dann würde ich mich mit diesem zusammensetzen und das Problem besprechen.

Das kommt darauf an, ob der Tätigkeitsbereich in deinem Vertrag festgehalten wurde oder nicht. Wenn nichts drinsteht, darf er dir eigentlich jede anfallende Tätigkeit auftragen und du musst sie nach deinen Fähigkeiten ausführen. Wenn du aber Gründe für die WEigerung hast, reiche die am besten schriftlich ein. Ob sie zählen entscheidet das Gericht.